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本文主要研究Atiyah-Singer局部指标定理的推广证明及非交换留数理论.一方面，利用Getzler rescaling和Greiner的热核渐近法证明一族Dirac算子的奇数维局部指标定理和等变局部指标定理，以及Sub-Signature算子的偶数维等变局部指标定理.另一方面，分析建立7维带边Spin流形上的关于带挠率的Dirac算子的非交换留数理论，以及6维带边Spin流形上的关于Witten形变的非交换留数理论，进一步证明与之对应的Kastler-Kalau-Walze类型定理, 为6维和7维边Spin流形上的重力作用给出算子理论解释。